คณิตศาสตร์เอเชียตะวันออก

ช่วงต้นศตวรรษที่ 1-7 ที่ยอดเยี่ยม

บทที่เก้า

The Nine Chases ให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับวิธีการแสดงตัวเลขและวิธีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์สี่อย่างของการบวกการลบการคูณและการหาร ในนั้นตัวเลขจะถูกเขียนด้วยตัวอักษรจีน แต่สำหรับขั้นตอนส่วนใหญ่ที่อธิบายไว้การคำนวณจริงนั้นมีจุดประสงค์เพื่อดำเนินการบนพื้นผิวซึ่งอาจอยู่บนพื้นดิน ส่วนใหญ่อาจจะเป็นไปได้ที่สามารถสรุปได้จากบัญชีในภายหลังบนพื้นผิวนี้หรือคณะกรรมการการนับตัวเลขที่ถูกแสดงโดยการนับแท่ง (ดูรูป) ที่ถูกนำมาใช้ตามระบบค่าทศนิยมสถานที่ ตัวเลขที่แสดงโดยแท่งนับสามารถเคลื่อนย้ายและแก้ไขภายในการคำนวณ อย่างไรก็ตามไม่มีการบันทึกการคำนวณเป็นลายลักษณ์อักษรจนกระทั่งในภายหลัง ตามที่จะเห็นการตั้งค่าการคำนวณด้วยแท่งนับมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ในภายหลัง

บทที่เก้าประกอบด้วยความสำเร็จทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งซึ่งอยู่ในรูปแบบที่สมบูรณ์ซึ่งถูกนำเสนอโดยหนังสือส่วนใหญ่ที่ตามมาโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงมากมาย ความสำเร็จที่สำคัญที่สุดมีการอธิบายสั้น ๆ ในส่วนที่เหลือของส่วนนี้

เลขคณิตของเศษส่วน

ฝ่ายปฏิบัติการกลางในเดอะไนน์บทที่ เศษส่วนถูกกำหนดเป็นส่วนหนึ่งของผลลัพธ์ของการหารส่วนที่เหลือของการจ่ายเงินปันผลจะถูกใช้เป็นตัวเศษและตัวหารเป็นตัวส่วน ดังนั้นการหาร 17 ด้วย 5 หนึ่งจะได้ผลหารของ 3 และส่วนที่เหลือเป็น 2 สิ่งนี้ก่อให้เกิดปริมาณผสม 3 + 2/5 ส่วนที่เป็นเศษส่วนจึงน้อยกว่าหนึ่งส่วนเสมอและการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของพวกมันก็อธิบายผ่านการใช้งานของการหาร ตัวอย่างเช่นเพื่อให้ได้ผลรวมของเศษส่วนชุดหนึ่งจะได้รับคำสั่ง

คูณตัวเลขด้วยตัวส่วนที่ไม่ตรงกับตัวคูณเพิ่มเพื่อรับเงินปันผล คูณตัวหารทั้งหมดเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ตัวหาร ทำการแบ่ง หากมีเศษเหลือให้ตั้งชื่อด้วยตัวหาร

อัลกอริทึมนี้สอดคล้องกับสูตรสมัยใหม่ a / b + c / d = (ad + bc) / bd ผลรวมของเซตของเศษส่วนจึงเป็นผลลัพธ์ของการหารในรูปแบบ“ จำนวนเต็มบวกเศษส่วนที่เหมาะสม” การคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนได้อธิบายไว้ในลักษณะเดียวกัน

อัลกอริทึมสำหรับพื้นที่และปริมาณ

บทที่เก้าให้สูตรสำหรับระนาบเบื้องต้นและตัวเลขแข็งรวมถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, สี่เหลี่ยมคางหมู, วงกลมและส่วนของวงกลมและปริมาณของปริซึมถังปิรามิดและทรงกลม สูตรทั้งหมดเหล่านี้จะแสดงเป็นรายการของการดำเนินการที่จะดำเนินการกับข้อมูลเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ - กล่าวคือเป็นอัลกอริทึม ตัวอย่างเช่นในการคำนวณพื้นที่ของวงกลมอัลกอริทึมดังต่อไปนี้จะได้รับ:“ คูณเส้นผ่านศูนย์กลางด้วยตัวมันเองคูณสามด้วยหารด้วยสี่” อัลกอริทึมนี้มีจำนวนการใช้ 3 เป็นค่าสำหรับπ นักวิจารณ์ได้เพิ่มค่าที่ดีขึ้นสำหรับπพร้อมกับการสืบทอดบางส่วน คำอธิบายที่อธิบายถึง Liu Hui คำนวณการประมาณอื่นอีกสองค่าสำหรับπต่ำหนึ่ง (157/50) และสูงหนึ่ง (3,927 / 1,250) อีกเล็กน้อย บทที่เก้ายังให้สูตรที่ถูกต้องสำหรับพื้นที่ของวงกลม -“ คูณเส้นผ่าศูนย์กลางครึ่งหนึ่งและครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงหนึ่งจะได้พื้นที่” - ซึ่ง Liu Hui พิสูจน์แล้ว

คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นพร้อมกัน

The Nine Chases อุทิศหนึ่งบทในการแก้ปัญหาของสมการเชิงเส้นพร้อมกันนั่นคือการรวบรวมความสัมพันธ์ระหว่าง unknowns และ data (สมการ) ที่ไม่มีการเพิ่มปริมาณที่ไม่รู้จักเป็นพลังงานสูงกว่า 1 ตัวอย่างปัญหาแรกใน บทนี้เกี่ยวกับอัตราผลตอบแทนจากธัญพืชสามระดับถาม:

ธัญพืชคุณภาพสูง 3 ชุด, เมล็ดพืชระดับกลาง 2 กลุ่มและกลุ่มผลผลิตต่ำ 1 ชุด 39 ชุด ชุดของเกรดสูง 2 ชุดชุดระดับกลาง 3 ชุดและชุดผลตอบแทนเกรดต่ำ 1 ชุด 34 ชุด ชุดของขวัญระดับบน 1 ชุด, ชุดชั้นกลาง 2 ชุดและชุดเกรดต่ำ 3 ชุด 26 ชุด มัดหนึ่งหน่วยของผลผลิตแต่ละระดับมีกี่หน่วย

ขั้นตอนการแก้ปัญหาระบบสามสมการในสามสิ่งแปลกปลอมเกี่ยวข้องกับการจัดเรียงข้อมูลบนพื้นผิวการคำนวณในรูปแบบของตารางดังแสดงในรูป ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการแรกถูกจัดเรียงในคอลัมน์แรกและค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่สองและสามในคอลัมน์ที่สองและสาม ดังนั้นตัวเลขของแถวแรกประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์แรกในแต่ละสมการซึ่งตรงกับค่าที่ไม่รู้จักแรก นี่เป็นตัวอย่างของเครื่องหมายบอกสถานที่ - ค่าซึ่งตำแหน่งของตัวเลขในการกำหนดค่าตัวเลขมีความหมายทางคณิตศาสตร์ เครื่องมือหลักสำหรับการแก้ปัญหาคือการใช้การลดคอลัมน์ (การกำจัดตัวแปรโดยการลดค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์) เพื่อให้ได้การกำหนดค่าที่เทียบเท่า ถัดไปไม่ทราบแถวที่สามจะถูกแบ่งออกเป็นส่วน ๆ ด้วยเหตุนี้จึงพบแถวที่สองและแถวแรกเช่นกัน อัลกอริทึมนี้เป็นที่รู้จักในตะวันตกว่าเป็นการกำจัดเกาส์

อัลกอริทึมที่อธิบายข้างต้นอาศัยวิธีการที่สำคัญในการกำหนดค่าที่กำหนดให้กับชุดข้อมูลบนพื้นผิวการนับ เนื่องจากขั้นตอนแสดงถึงการลบแบบคอลัมน์ต่อคอลัมน์จึงทำให้เกิดจำนวนลบ The Nine Chapters อธิบายวิธีการคำนวณโดยละเอียดเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์เชิงบวกและเชิงลบที่ทำให้เกิดปัญหาที่ไม่ทราบค่าสองถึงเจ็ดค่า นี่น่าจะเป็นครั้งแรกที่ตัวเลขติดลบเกิดขึ้นในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์