สารบัญ:
แหวน
แหวนในทฤษฎีจำนวน
ในอีกทางหนึ่งความก้าวหน้าที่สำคัญในทฤษฎีจำนวนโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเช่น Ernst Kummer, Richard Dedekind และ Leopold Kronecker ใช้วงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิต (จำนวนเต็มเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ทำให้สมการพีชคณิตของรูปแบบ x n + a 1 x n − 1 +
+ a n = 0 โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ a 1,
, a nเป็นจำนวนเต็ม) งานของพวกเขาได้นำเสนอแนวคิดที่สำคัญเกี่ยวกับอุดมคติในวงแหวนดังกล่าวที่เรียกว่าเพราะมันสามารถแสดงได้ด้วย“ องค์ประกอบในอุดมคติ” นอกวงแหวนที่เกี่ยวข้อง ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน David Hilbert ใช้อุดมคติในการแก้ปัญหาเก่า ๆ เกี่ยวกับพหุนาม (นิพจน์พีชคณิตโดยใช้ตัวแปรหลายตัว x 1, x 2, x 3,
) ปัญหาคือการใช้จำนวนตัวแปรที่ จำกัด และตัดสินใจว่าอุดมคติใดที่สามารถสร้างได้โดยชื่อพหุนามจำนวนมากที่สุด วิธีการของฮิลแบร์ตแก้ไขปัญหาและยุติการสอบสวนเพิ่มเติมโดยแสดงว่าพวกเขาทุกคนมีคุณสมบัตินี้ วิธีการ "ปิดมือ" ที่เป็นนามธรรมของเขาทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Paul Gordon ร้องอุทาน“ Das ist nicht Mathematik, และ isolog Theologie!” (“ นั่นไม่ใช่คณิตศาสตร์นั่นคือเทววิทยา!”) พลังของพีชคณิตสมัยใหม่มาถึงแล้ว
วงสามารถเกิดขึ้นตามธรรมชาติในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ตามที่แสดงในตัวอย่างต่อไปนี้: จำนวนทั้งหมดที่สามารถเขียนเป็นผลรวมของสองสี่เหลี่ยม? กล่าวอีกนัยหนึ่งว่าจำนวนเต็ม n ทั้งหมดสามารถเขียนเป็น2 + b 2 ได้อย่างไร เพื่อแก้ปัญหานี้จะมีประโยชน์ในการแยกปัจจัย n เป็นปัจจัยเฉพาะและยังมีประโยชน์ในการแยก2 + b 2เป็น (a + bi) (a - bi) โดยที่ i 2 = −1 คำถามนั้นสามารถนำมาใช้ใหม่ในรูปของตัวเลข a + bi โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม ชุดตัวเลขนี้เป็นรูปวงแหวนและด้วยการพิจารณาการแยกตัวประกอบในวงแหวนนี้ปัญหาดั้งเดิมจะสามารถแก้ไขได้ วงแหวนประเภทนี้มีประโยชน์มากในทฤษฎีจำนวน
วงแหวนในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
วงแหวนถูกใช้อย่างกว้างขวางในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต พิจารณาความโค้งในระนาบที่กำหนดโดยสมการในสองตัวแปรเช่น y 2 = x 3 + 1 เส้นโค้งที่แสดงในภาพประกอบด้วยจุดทั้งหมด (x, y) ที่ตรงกับสมการ ตัวอย่างเช่น (2, 3) และ (−1, 0) เป็นจุดบนเส้นโค้ง ฟังก์ชันพีชคณิตทุกตัวในสองตัวแปรกำหนดค่าให้กับทุกจุดของเส้นโค้ง ตัวอย่างเช่น xy + 2x กำหนดค่า 10 ให้กับจุด (2, 3) และ −2 ไปยังจุด (−1, 0) ฟังก์ชั่นดังกล่าวสามารถเพิ่มและคูณเข้าด้วยกันและมันจะสร้างวงแหวนที่สามารถใช้เพื่อศึกษาโค้งเดิม ฟังก์ชั่นเช่น y 2และ x 3 + 1 ที่เห็นด้วยซึ่งกันและกันในทุก ๆ จุดของเส้นโค้งจะได้รับการปฏิบัติเหมือนฟังก์ชั่นเดียวกันและทำให้สามารถกู้โค้งจากวงแหวนได้ ปัญหาเรขาคณิตสามารถเปลี่ยนเป็นปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิตแก้ไขได้โดยใช้เทคนิคจากพีชคณิตสมัยใหม่แล้วเปลี่ยนกลับไปเป็นผลลัพธ์ทางเรขาคณิต
การพัฒนาวิธีการเหล่านี้สำหรับการศึกษาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหนึ่งในความก้าวหน้าที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ในช่วงศตวรรษที่ 20 งานบุกเบิกในทิศทางนี้เกิดขึ้นที่ฝรั่งเศสโดยนักคณิตศาสตร์André Weil ในปี 1950 และ Alexandre Grothendieck ในทศวรรษที่ 1960
ทฤษฎีกลุ่ม
นอกเหนือจากการพัฒนาในทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตพีชคณิตสมัยใหม่มีการประยุกต์ที่สำคัญในการสมมาตรโดยใช้ทฤษฎีกลุ่ม กลุ่มคำมักจะหมายถึงกลุ่มของการดำเนินงานอาจรักษาความสมมาตรของวัตถุบางอย่างหรือการจัดเรียงของวัตถุที่คล้ายกัน ในกรณีหลังการดำเนินงานจะเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยนและพูดถึงหนึ่งในกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนหรือเพียงแค่กลุ่มการเปลี่ยนแปลง ถ้าαและβเป็นการดำเนินงานคอมโพสิตของพวกเขา (αตามด้วยβ) มักจะเขียนαβและคอมโพสิตในลำดับที่ตรงกันข้าม (βตามด้วยα) จะถูกเขียนβα โดยทั่วไปαβและβαไม่เท่ากัน กลุ่มยังสามารถกำหนด axiomatically เป็นชุดที่มีการคูณที่ตอบสนองความจริงสำหรับการปิด, การเชื่อมโยง, องค์ประกอบเอกลักษณ์และผกผัน (สัจพจน์ 1, 6, 9 และ 10) ในกรณีพิเศษที่αβและβαเท่ากันสำหรับαและβทั้งหมดกลุ่มเรียกว่า commutative หรือ Abelian; สำหรับกลุ่ม Abelian เช่นนั้นการดำเนินงานบางครั้งก็เขียนα + βแทนαβโดยใช้การเพิ่มแทน
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีกลุ่มแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสÉvariste Galois (1811–32) เพื่อแก้ไขปัญหาเก่าที่เกี่ยวข้องกับสมการพีชคณิต คำถามคือการตัดสินใจว่าสมการที่กำหนดสามารถแก้ไขได้โดยใช้อนุมูล (หมายถึงรากที่สอง, รากลูกบาศก์และอื่น ๆ พร้อมกับการดำเนินงานตามปกติของเลขคณิต) ด้วยการใช้กลุ่มของการเปลี่ยนลำดับ“ ที่ยอมรับได้” ทั้งหมดของวิธีการแก้ปัญหาตอนนี้เรียกว่ากลุ่มของ Galois ของสมการ Galois แสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาสามารถแสดงหรือไม่ในแง่ของอนุมูล การใช้กลุ่มของเขาเป็นครั้งแรกที่มีความสำคัญและเขาเป็นคนแรกที่ใช้คำศัพท์ในแง่เทคนิคที่ทันสมัย เป็นเวลาหลายปีก่อนที่งานของเขาจะถูกเข้าใจอย่างสมบูรณ์ส่วนหนึ่งเป็นเพราะตัวละครที่มีนวัตกรรมสูงและส่วนหนึ่งเป็นเพราะเขาไม่ได้อธิบายความคิดของเขาเมื่ออายุ 20 ปีเขาบาดเจ็บสาหัสในการต่อสู้ เรื่องนี้เป็นที่รู้จักในฐานะทฤษฎี Galois
ทฤษฎีกลุ่มพัฒนาขึ้นเป็นครั้งแรกในประเทศฝรั่งเศสและจากนั้นในประเทศยุโรปอื่น ๆ ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 หนึ่งความคิดที่สำคัญและเริ่มต้นคือมีหลายกลุ่มและโดยเฉพาะอย่างยิ่งทุกกลุ่ม จำกัด สามารถแบ่งออกเป็นกลุ่มที่ง่ายกว่าในวิธีที่ไม่ซ้ำกันเป็นหลัก กลุ่มที่เรียบง่ายเหล่านี้ไม่สามารถย่อยสลายได้มากขึ้นดังนั้นพวกเขาจึงถูกเรียกว่า "ง่าย" แม้ว่าการขาดการสลายตัวเพิ่มเติมมักทำให้พวกเขาค่อนข้างซับซ้อน นี่เป็นเหมือนการแยกย่อยจำนวนเต็มเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะหรือโมเลกุลเป็นอะตอม
ในปี 1963 เอกสารสำคัญโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Walter Feit และ John Thompson แสดงให้เห็นว่าหากกลุ่ม simple finite ไม่ได้เป็นเพียงกลุ่มของการหมุนของรูปหลายเหลี่ยมปกติแล้วมันจะต้องมีองค์ประกอบจำนวนคู่ ผลลัพธ์นี้มีความสำคัญอย่างมากเพราะมันแสดงให้เห็นว่ากลุ่มดังกล่าวจะต้องมีองค์ประกอบบางอย่างเช่น x 2 = 1 การใช้องค์ประกอบดังกล่าวช่วยให้นักคณิตศาสตร์ได้รับการจัดการกับโครงสร้างของทั้งกลุ่ม กระดาษนำไปสู่โปรแกรมที่มีความทะเยอทะยานสำหรับการค้นหากลุ่มที่เรียบง่ายที่มี จำกัด ทั้งหมดซึ่งเสร็จสมบูรณ์ในต้นปี 1980 มันเกี่ยวข้องกับการค้นพบกลุ่มง่าย ๆ หลายกลุ่มซึ่งหนึ่งในนั้น“ มอนสเตอร์” ไม่สามารถทำงานได้ในน้อยกว่า 196,883 มิติ สัตว์ประหลาดยังคงยืนหยัดเป็นสิ่งที่ท้าทายในปัจจุบันเนื่องจากความสัมพันธ์ที่น่าสนใจกับส่วนอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์
