คณิตศาสตร์เวกเตอร์

Vectorในคณิตศาสตร์คือปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง แต่ไม่ใช่ตำแหน่ง ตัวอย่างของปริมาณดังกล่าวคือความเร็วและความเร่ง ในรูปแบบที่ทันสมัยเวกเตอร์ปรากฏในปลายศตวรรษที่ 19 เมื่อ Josiah Willard Gibbs และ Oliver Heaviside (ของสหรัฐอเมริกาและสหราชอาณาจักรตามลำดับ) พัฒนาการวิเคราะห์เวกเตอร์อิสระเพื่อแสดงกฎใหม่ของแม่เหล็กไฟฟ้าที่ค้นพบโดย James Clerk Maxwell นักฟิสิกส์ชาวสก๊อต นับตั้งแต่นั้นเป็นต้นมาเวกเตอร์ได้กลายเป็นสิ่งจำเป็นในฟิสิกส์กลศาสตร์วิศวกรรมไฟฟ้าและวิทยาศาสตร์อื่น ๆ เพื่ออธิบายแรงทางคณิตศาสตร์

พีชคณิตเชิงเส้น: เวกเตอร์และปริภูมิเวกเตอร์

พีชคณิตเชิงเส้นมักจะเริ่มต้นด้วยการศึกษาของเวกเตอร์ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันว่าปริมาณมีทั้งขนาดและทิศทาง เวกเตอร์ s

เวกเตอร์อาจมองเห็นเป็นเส้นตรงกำกับที่มีความยาวเป็นขนาด เนื่องจากขนาดและทิศทางของสสารสำคัญเวกเตอร์ใด ๆ ส่วนกำกับอาจถูกแทนที่ด้วยหนึ่งในความยาวและทิศทางเดียวกัน แต่เริ่มต้นที่จุดอื่นเช่นที่มาของระบบพิกัด เวกเตอร์มักจะถูกระบุด้วยตัวอักษรตัวหนาเช่น v. ขนาดของเวกเตอร์หรือความยาวถูกระบุด้วย | v | หรือ v ซึ่งแสดงถึงปริมาณหนึ่งมิติ (เช่นหมายเลขสามัญ) ที่รู้จักกันในชื่อสเกลาร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์จะเปลี่ยนความยาวของเวกเตอร์ แต่ไม่ใช่ทิศทางยกเว้นการคูณด้วยจำนวนลบจะย้อนกลับทิศทางของลูกศรของเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่นการคูณเวกเตอร์ด้วย 1/2 จะส่งผลให้เวกเตอร์ครึ่งหนึ่งยาวไปในทิศทางเดียวกันในขณะที่การคูณเวกเตอร์ด้วย −2 จะส่งผลให้เวกเตอร์ยาวเป็นสองเท่า แต่ชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม

สามารถบวกหรือลบเวกเตอร์สองตัวได้ ตัวอย่างเช่นในการเพิ่มหรือลบเวกเตอร์ v และ w แบบกราฟิก (ดูแผนภาพ) ให้ย้ายแต่ละอันไปที่จุดกำเนิดและทำสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดขึ้นโดยเวกเตอร์สองตัว v + w เป็นเวกเตอร์ทแยงมุมหนึ่งอันของสี่เหลี่ยมด้านขนานและ v - w คือเวกเตอร์ทแยงมุมอื่น

มีสองวิธีที่แตกต่างกันในการคูณเวกเตอร์สองตัวเข้าด้วยกัน กากบาทหรือเวกเตอร์เป็นผลคูณในเวกเตอร์อีกอันที่แทนด้วย v × w ขนาดผลิตภัณฑ์ไขว้ถูกกำหนดโดย | v × w | = vw sin θโดยที่θเป็นมุมที่เล็กกว่าระหว่างเวกเตอร์ (โดยมี "ก้อย" วางรวมกัน) ทิศทางของ v × w ตั้งฉากกับทั้ง v และ w และทิศทางของมันสามารถมองเห็นได้ด้วยกฎมือขวาดังแสดงในรูป ผลิตภัณฑ์ครอสมักจะใช้เพื่อให้ได้“ ปกติ” (เส้นตั้งฉาก) ไปยังพื้นผิวในบางจุดและมันเกิดขึ้นในการคำนวณแรงบิดและแรงแม่เหล็กในอนุภาคที่มีประจุเคลื่อนไหว

อีกวิธีในการคูณเวกเตอร์สองตัวเข้าด้วยกันเรียกว่า dot product หรือบางครั้งเป็นผลคูณสเกลาร์ ผลิตภัณฑ์ดอทจะได้รับจาก v ∙ w = vw cos where โดยที่θเป็นมุมที่เล็กกว่าระหว่างเวกเตอร์ ผลคูณของจุดใช้เพื่อหามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว (โปรดทราบว่าผลิตภัณฑ์ดอทเป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน) แอปพลิเคชันทางกายภาพทั่วไปคือการหางาน W ที่ดำเนินการโดยแรงคงที่ F ที่กระทำบนวัตถุเคลื่อนที่ d; งานมอบให้โดย W = Fd cos θ